Szkołę średnią ukończył w Charkowie i tamże rozpoczął studia medyczne. W 1857 r. zdobył stopień doktora i wyjechał na praktyki lekarskie w Wiedniu i Berlinie. Po kilku latach wrócił do Charkowa, by objąć katedrę nauk medycznych. Po ponad 20 latach pracy na charkowskim uniwersytecie, otrzymał nominację na rektora UW. Warszawskie środowisko przyjęło tę nominację obojętnie, zupełnie nie znając dorobku naukowego nowego rektora. Po trzech latach pobytu Szczełkowa w Warszawie, wiedza o naukowych osiągnięciach rektora UW nadal była znikoma, bowiem znano tylko kilka jego opracowań z zakresu medycyny, a te były mało odkrywcze. Jeszcze gorzej oceniono pracę Szczełkowa o historii Królewskiego Uniwersytetu Warszawskiego, powszechnie dopatrując się w niej znamion plagiatu. Po opuszczeniu Warszawy, Iwan Piotrowicz Szczełkow przeszedł na emeryturę.